Mengenal Bilangan

MENGENAL BILANGAN DALAM FILSAFAT MATEMATIKA

Definisi Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang bersifat abstrak yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya. Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol.

Membaca uraian di atas, jelas bahwa bilangan memiliki pengaruh yang sangat besar bagi kehidupan umat manusia. Dapatkah terbayangkan bagaimana bila kehidupan di dunia ini tidak mengenal konsep bilangan? Bagaimana cara manusia melakukan berbagai aktivitas kehidupan sehari-hari mulai dari yang paling sederhana hingga yang paling kompleks sekalipun? Bagaimana manusia dapat menghitung berapa lama ia telah hidup? Bagaimana caranya melakukan kegiatan jual beli? Tentu sangat sulit bukan? Oleh karena itu, alangkah bagusnya jika kita mengenal konsep dasar mengenai bilangan.

Mengenal Bilangan pada Suku Bangsa Babilonia

Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai "Matematika Babilonia" karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.

Simbol Bilangan dalam suku Babylonia (±2000 SM)

Mengenal Bilangan pada Suku Bangsa Mesir Kuno

Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.

Simbol Bilangan Mesir Kuno (±3000 SM)                                                    

Astronished man ( orang astronis )

Scrool ( gulungan surat )

Vertical staff

Heel Bone ( tulang lutut )

Polliwing / burbot ( berudu )

Pointing finger ( telunjuk )

Lotus flower ( bunga teratai )

                                                                       

Pada abad ke 3 S.M., perkembangan teori bilangan ditandai oleh hasil kerja Erathosthenes, yang sekarang terkenal dengan nama Saringan Erastosthenes (The Sieve of Erastosthenes). Dalam enam abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan buku yang bernama Arithmetika, yang membahas penyelesaian persamaan didalam bilangan bulat dan bilangan rasional, dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun geometris seperti yang dikembangkan oleh Euclid). Dengan kerja bentuk lambang ini, Diopanthus disebut sebagai salah satu pendiri aljabar.

Berikut ini adalah Simbol-simbol bilangan yang ditemukan :

Bilangan Cunieform yang digunakan bangsa

Babilonia sejak tahun 5000 SM

Lambang bilangan bangsa Hindu-Arab kuno

 pada abad ke-10

Lambang bilangan yang digunakan bangsa Maya

di Amerika pada tahun 500 SM

Lambang bilangan Hieroglif yang digunakan

bangsa Mesir Kuno

Lambang bilangan bangsa Arab pada abad ke-11

Lambang bilangan bangsa Yunani Kuno

Lambang bilangan bangsa Romawi

Himpunan Bilangan

Pada zaman sekarang ini, sistem penulisan bilangan yang dikenal adalah penulisan yang dikembangkan oleh bangsa Arab (Angka Arab) dengan angka pokoknya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sedangkan angka yang lebih dari 9, ditulis dengan mengkombinasikan angka-angka pokok tadi. Untuk keperluan menghitung, maka orang-orang mulai memerlukan “bilangan penghitung” (counting number) yaitu bilangan yang dimulai dari 1, 2, 3, 4, 5, ... dan seterusnya. Dimana bilangan penghitung tersebut sekarang ini dikenal dengan nama bilangan-bilangan asli, dan apabila bilangan-bilangan asli dihimpun menjadi sebuah himpunan, dan sebutlah himpunan itu dengan N, maka di dalam matematika, himpunan semua bilangan asli N tersebut dikenal sebagai N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }.

Untuk keperluan lainnya kemudian orang memperluas bilangan asli menjadi bilangan bulat, sehingga munculah himpunan semua bilangan bulat. Di dalam bahasa asing disingkat “I” (integer), himpunan bilangan bulat I dinyatakan dengan I = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. dari bilangan bulat diperluas menjadi bilangan rasional. Bilangan rasional biasanya diberi nama dengan “Q” singkatan dari Quotient yang berarti rasio atau perbandigan. Himpunan bilangan rasional Q dinyatakan dengan Q = {}.

Karena , hubungan ketiga himpunan bilangan tersebut dapat digambarkan melalui diagram venn berikut:

Kemudian untuk keperluan tertentu orang-orang menciptakan bilangan Irasional, apabila himpunan semua bilangan irasional diberi nama H, maka himpunan semua bilangan irasional H dan himpunan semua bilangan rasional Q merupakan dua buah himpunan yang saling lepas, sehingga H  Q =  (himpunan kosong) sedangkan gabungan dari himpunan rasional dan irasional disebut himpunan semua bilangan real R atau H  Q = R.

Hubungan antara kelima himpunan N, I, Q, H, dan R dapat diperlihatkan oleh diagram Venn berikut:

Bilangan yang bukan merupakan bilangan real disebut “bilangan imajiner” dan biasanya diberi nama dengan huruf i atau i =  . Dengan dikenalnya bilangan imajiner maka kita akan mengenal bilangan kompleks dan diberi nama C, yang dinyatakan sebagai

Hubungan antara ketujuh himpuan N, I, Q, H, R, M, dan C ditunjukan oleh diagram venn, tampak bahwa N  I  Q  R  C, H  R  C, M  C, Q  H =  dan M  R = .

Macam-Macam Bilangan

Bilangan Asli ( N )

Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang bukan nol, yaitu unsur himpunan N={1, 2, 3, 4, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukan beberapa jenis kera besar (inggris:apes) juga bisa mempelajarinya. Bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, membagi dsb. Bilangan asli dapat digunakan untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat terhitung suatu himpunan.

Bilangan Cacah (C)

Bilangan cacah adalah bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu C= {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah 0.

Bilangan Bulat ( I )

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...); -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Pada bilangan bulat bisa dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang masing-masing operasi mempunyai sifat-sifat tertentu. Sistem bilangan bulat tercipta sebagai perluasan sistem bilangan cacah untuk mendapatkan sistem bilangan yang tertutup terhadap semua operasi hitung. Perluasan tersebut dilakukan dengan mencari bilangan yang tertutup terhadap operasi pengurangan.

-          Semua bilangan di sebelah kiri nol adalah bilangan negatif

-          Semua bilangan di sebelah kiri nol adalah bilangan positif

Bilangan Rasional ( H )

Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai  dimana a dan b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Bilangan rasional merupakan bilangan yang mempunyai jumlah kurang atau lebih dari utuh, terdiri dari pembilang dan penyebut. Pembilang merupakan bilangan yang terbagi, sedangkan penyebut merupakan bilangan pembagi.

 

           

Contoh :

                  4 à  pembilang

5 à  penyebut

2 à  pembilang

3 à  penyebut

Bilangan Irasional ( Q )

Bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi atau hasil baginya tidak pernah berhenti. Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan dengan a/b. dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0 (nol). Contoh yang paling popular dari bilangan irasional adalah bilangan , dan bilangan e.

Bilangan  sebetulnya tidak tepat = 3,14 tetapi = 3,1415926535... atau = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 ... Untuk bilangan  yaitu bernilai = 1,41421356237309504880168872 ... atau = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798 ... (hingga 700 digit belum selesai, yang ditemukan oleh pakar matematika Jepang dengan batuan komputer ), untuk bilangan e yaitu bernilai = 2,7182818 ...

Bilangan Riil ( R )

Bilangan riil atau real number menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339 ... atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan , dan bilangan irasional seperti  dan bilangan akar, juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan riil meliputi kelas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Arhimides.

Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat . Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Selain bagian imajiner, bilangan komplek mempunyai bagian riil. Secara definisi, bagian bilangan imajiner ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik  atau

Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk . Dimana a dan b adalah bilangan riil dan I adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat . Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali dan dibagi seperti bilangan riil, namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.

Selain bilangan-bilangan di atas, juga terdapat beberapa bilangan lainnya, yaitu :

Bilangan Nol

Konsep bilangan nol telah berkembang sejak zaman Babilonia danYunani kuno, yang pada saat itu diartikan sebagai ketiadaan dari sesuatu. Konsep bilangan nol dan sifat-sifatnya terus berkembang dari waktu ke waktu.

Sejarah diketemukannya bilangan nol adalah sekitar 300 SM, orang Babilonia telah memulai penggunaan dua baji miring (//) untuk menunjukkan sebuah tempat kosong pada abax (alat hitung pertama bangsa Babilonia, lebih dikenal dengan abacus).

Hingga pada abad ke-7, Brahmagupta seorang matematikawan India memperkenalkan beberapa sifat bilangan nol. Sifat-sifatnya adalah suatu bilangan bila dijumlahkan dengan nol adalah tetap, demikian pula sebuah bilangan bila dikalikan dengan nol akan menjadi nol. Tetapi, Brahmagupta menemui kesulitan dan cenderung ke arah yang salah, ketika berhadapan dengan pembagian oleh bilangan nol. Hal ini terus menjadi topik penelitian pada saat itu, bahkan sampai 200 tahun kemudian. Misalnya tahun 830, Mahavira (India) mempertegas hasil-hasil Brahmagupta, dan bahkan menyatakan bahwa “sebuah bilangan dibagi oleh nol adalah tetap”. Tentu saja ini suatu kesalahan fatal. Tetapi, hal ini tetap harus sangat dihargai untuk ukuran saat itu.

Ide-ide brilian dari matematikawan India selanjutnya dipelajari oleh matematikawan Muslim dan Arab. Hal ini terjadi pada tahap-tahap awal ketika matematikawan Al-Khawarizmi meneliti sistem perhitungan Hindu (India) yang menggambarkan sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Al-Khawarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh. Sistem ini disebut sebagai sistem bilangan desimal.

Bilangan Sempurna

Bilangan sempurna adalah bilangan bulat yang juga merupakan jumlah dari pembagi positifnya, tidak termasuk bilangan itu sendiri. Oleh karena itu, 6 adalah bilangan sempurna, karena 1, 2, dan 3 adalah pembagi dari 6, dan 1 + 2 + 3 = 6. Bilangan sempurna berikutnya adalah 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Diikuti dengan 496, dan 8128. Hanya empat bilangan sempurna yang pertama inilah yang diketahui oleh ahli zaman Yunani Kuno.

Saat ini, telah ditemukan rumus dari bilangan sempurna, sehingga kita dapat mencari bilangan sempurna lainnya selain 6, 28, 496, dan 8128. Rumus tersebut adalah :

Bilangan sempurna =

Bilangan Bersekawan

Dua buah bilangan a dan b dikatakan bersekawan apabila jumlah faktor prima dari bilangan a sama dengan bilangan b dan jumlah faktor prima dari bilangan b sama dengan bilangan a. Contohnya adalah bilangan 220 dengan 284; faktor prima dari 220 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 dan 110, dimana jumlahnya sama dengan 284, dan faktor prima dari 284 adalah 1, 2, 4, 71 dan 142, dimana jumlahnya sama dengan 220. Beberapa pasangan bilangan bersekawan lainnya adalah (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), dan (6232, 6368).

Bilangan-bilangan tersebut dapat digambarkan dalam sebuah bagan bilangan berikut :

 

DAFTAR PUSTAKA

Aditya., (2010), Sejarah Sistem Bilangan. [Online]. Tersedia: http://www. adit38.wordpress.com/2010/05/19/asal-usul-sistem-bilangan

Gauss, Carl Friedrich., (2010), [Online]. Tersedia: http://id.wikipedia.org/wiki/ Gauss

Legendre, Adrien-Marie., (2010), [Online]. Tersedia: http://id.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre

Peirce, Benyamin., (2010), [Online]. Tersedia: http://id.wikipedia.org/wiki/Benjamin_Peirce

Pengertian Sistem Bilangan., (2010), [Online]. Tersedia: http://www.scribd.com/doc/ 25769841/pengertian-sistem-bilangan

Sejarah Matematika., (2010), [Online]. Tersedia: http://id.wikipedia.org/wiki/ Sejarah_matematika