Matematika Model

TUGAS MATEMATIKA MODEL

Mata Kuliah : Matematika Model

Dosen Pengampu : Prof. Dr. Marsigit, MA.

 

Oleh:

Nama : Rofi Amaludin, S.Pd.

NIM : 15709251001

Kelas : P.Mat  B

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

2016

 SEJARAH PERKEMBANGAN BILANGAN

DALAM FILSAFAT MATEMATIKA

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks. Banyak yang tidak menduga bahwa nol sebenarnya sangat berbahaya dan dapat menjadi bom penghancur yang sangat dahsyat. Sebagai buktinya adalah kisah nyata yang terjadi pada tanggal 21 September 1997.

Kapal perang USS Yorktown ketika sedang menyusuri lepas pantai Virginia, kapal peluncur misil berharga jutaan dolar amerika itu tiba-tiba macet dan menimbulkan kecemasan bagi semua awak kapal. Ketika sistem komputasi Yorktown baru saja mengoperasikan sebuah software baru pengatur kerja mesin, angka nol yang seharusnya dihilangkan, terlewatkan dan tersembunyi hingga akhirnya software tersebut mengaktifkan dan menguncinya. Mesin yang berkekuatan 80.000 tenaga kuda tersebut tak dapat berfungsi. Kapal tidak bergerak hampir tiga jam. Akibat kejadian ini, para teknisi membutuhkan waktu dua hari untuk menghapus angka nol dan Yorktown dapat beroperasi kembali.

Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasilkan bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris. Operasi numeris mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan perakaran. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya. Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol.

Membaca uraian di atas, jelas bahwa bilangan memiliki pengaruh yang sangat besar bagi kehidupan umat manusia. Dapatkah terbayangkan bagaimana bila kehidupan di dunia ini tidak mengenal konsep bilangan? Bagaimana cara manusia melakukan berbagai aktivitas kehidupan sehari-hari mulai dari yang paling sederhana hingga yang paling kompleks sekalipun? Bagaimana manusia dapat menghitung berapa lama ia telah hidup? Bagaimana caranya melakukan kegiatan jual beli? Tentu sangat sulit bukan? Oleh karena itu, alangkah bagusnya jika kita mengenal konsep dasar mengenai bilangan, seperti apa itu bilangan? Bagaimana sejarah bilangan berkembang hingga menjadi seperti bilangan yang kita gunakan saat ini? Siapa-siapa saja yang telah berjasa dalam menemukan dan mengembangkan konsep bilangan?

2.1 Sejarah Perkembangan Teori Bilangan

Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama. Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.

Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya :

·         Simbol bilangan bangsa Babilonia.

·         Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM.

·         Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir Kuno.

·         Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11 dan dipakai hingga kini oleh umat Islam di seluruh dunia.

·         Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno.

·         Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini.

Sejarah perkembangan teori bilangan dapat dikelompokkan menjadi dua masa, yaitu :

2.1.1 Teori Bilangan pada Masa Prasejarah (Sebelum Masehi)

Konsep bilangan dan proses berhitung berkembang dari zaman sebelum ada sejarah (artinya tidak tercatat sejarah kapan dimulainya). Mungkin bisa diperdebatkan, tapi diyakini sejak zaman paling primitif pun manusia memiliki “rasa” terhadap apa yang dinamakan bilangan, setidaknya untuk mengenali mana yang “lebih banyak” atau mana yang “lebih sedikit” terhadap berbagai benda.

Hal ini dibuktikan dengan ditemukannya benda matematika tertua, yaitu tulang Lebombo di pegunungan Lebombo di Swaziland dan mungkin berasal dari tahun 35.000 SM. Tulang ini berisi 29 torehan yang berbeda yang sengaja digoreskan pada tulang fibula baboon. Terdapat bukti bahwa kaum perempuan biasa menghitung untuk mengingat siklus haid mereka; 28 sampai 30 goresan pada tulang atau batu, diikuti dengan tanda yang berbeda. Selain itu, ditemukan juga artefak prasejarah di Afrika dan Perancis, dari tahun 35.000 SM dan berumur 20.000 tahun, yang menunjukkan upaya dini untuk menghitung waktu. Tulang Ishango, ditemukan di dekat batang air Sungai Nil (timur laut Kongo), berisi sederetan tanda lidi yang digoreskan di tiga lajur memanjang pada tulang itu. Tafsiran umum adalah bahwa tulang Ishango menunjukkan peragaan terkuno yang sudah diketahui tentang barisan bilangan prima.

2.1.1.1 Teori Bilangan pada Suku Bangsa Babilonia

Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai "Matematika Babilonia" karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.

Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan.

Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.

Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi  yang akurat sampai lima tempat desimal.

Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem desimal.

Sistem Numerasi Babylonia (±2000 SM), pertama kali orang yang mengenal bilangan 0 (nol) adalah Babylonian.

2.1.1.2 Teori Bilangan pada Suku Bangsa Mesir Kuno

Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.

Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga "Lembaran Ahmes" berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.

Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.

Sistem Numerasi Mesir Kuno (±3000 SM) bersifat aditif, dimana nilai suatu bilangan merupakan hasil penjumlahan nilai-nilai lambang-lambangnya.

Lambang dan simbol bilangan Mesir                                                             

Astronished man ( orang astronis )

Scrool ( gulungan surat )

Vertical staff

Heel Bone ( tulang lutut )

Polliwing / burbot ( berudu )

Pointing finger ( telunjuk )

Lotus flower ( bunga teratai )

                                                                       

2.1.1.3 Teori Bilangan pada Suku Bangsa India

Sulba Sutras (kira-kira 800-500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras.

Panini (kira-kira abad ke-5 SM) yang merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi dasar dari teorema binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci.

Pada sekitar abad ke 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan lengkap (perfect number), bilangan bersekawan (amicable number), bilangan prima (prime number), bilangan segitiga (triangular number), bilangan bujur sangkar (square number), bilangan segilima (pentagonal number) serta bilangan-bilangan segibanyak (figurate numbers) yang lain. Salah satu sifat bilangan segitiga yang terkenal sampai sekarang disebut triple Pythagoras, yaitu : a.a + b.b = c.c yang ditemukannya melalui perhitungan luas daerah bujur sangkar yang sisi-sisinya merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan sisi miring (hypotenosa) adalah c, dan sisi yang lain adalah a dan b. Hasil kajian yang lain yang sangat popular sampai sekarang adalah pembedaan bilangan prima dan bilangan komposit. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari satu yang tidak memiliki Faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan positif selain satu dan selain bilangan prima disebut bilangan komposit. Catatan sejarah menunjukkan bahwa masalah tentang bilangan prima telah menarik perhatian matematikawan selama ribuan tahun, terutama yang berkaitan dengan berapa banyaknya bilangan prima dan bagaimana rumus yang dapat digunakan untuk mencari dan membuat daftar bilangan prima.

Dengan berkembangnya sistem numerasi, berkembang pula cara atau prosedur aritmetis untuk landasan kerja, terutama untuk menjawab permasalahan umum, melalui langkah-langkah tertentu, yang jelas yang disebut dengan algoritma. Awal dari algoritma dikerjakan oleh Euclid. Pada sekitar abad 4 S.M, Euclid mengembangkan konsep-konsep dasar geometri dan teori bilangan. Buku Euclid yang ke VII memuat suatu algoritma untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar dari dua bilangan bulat positif dengan menggunakan suatu teknik atau prosedur yang efisien, melalui sejumlah langkah yang terhingga. Kata algoritma berasal dari algorism. Pada zaman Euclid, istilah ini belum dikenal. Kata Algorism bersumber dari nama seorang muslim dan penulis buku terkenal pada tahun 825 M., yaitu Abu Ja’far Muhammed ibn Musa Al-Khowarizmi. Bagian akhir dari namanya (Al-Khowarizmi), mengilhami lahirnya istilah Algorism. Istilah algoritma masuk kosakata kebanyakan orang pada saat awal revolusi komputer, yaitu akhir tahun 1950.

Pada abad ke 3 S.M., perkembangan teori bilangan ditandai oleh hasil kerja Erathosthenes, yang sekarang terkenal dengan nama Saringan Erastosthenes (The Sieve of Erastosthenes). Dalam enam abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan buku yang bernama Arithmetika, yang membahas penyelesaian persamaan didalam bilangan bulat dan bilangan rasional, dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun geometris seperti yang dikembangkan oleh Euclid). Dengan kerja bentuk lambang ini, Diopanthus disebut sebagai salah satu pendiri aljabar.

Berikut ini adalah Simbol-simbol bilangan yang ditemukan :

Bilangan Cunieform yang digunakan bangsa

Babilonia sejak tahun 5000 SM

Lambang bilangan bangsa Hindu-Arab kuno

 pada abad ke-10

Lambang bilangan yang digunakan bangsa Maya

di Amerika pada tahun 500 SM

Lambang bilangan Hieroglif yang digunakan

bangsa Mesir Kuno

Lambang bilangan bangsa Arab pada abad ke-11

Lambang bilangan bangsa Yunani Kuno

Lambang bilangan bangsa Romawi

2.1.2 Teori Bilangan pada Masa Sejarah (Masehi)

Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics.

Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya.

2.2 Definisi Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang bersifat abstrak yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Misalnya, tulisan atau ketikan : 1 yang terlihat saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang dari bilangan 1 yang tertangkap oleh indera penglihatan berkat keberadaan unsur-unsur kimia yang peka cahaya dan digunakan untuk menampilkan warna dan gambar. Demikian pula jika kita melihat lambang yang sama di papan tulis, yang terlihat bukanlah bilangan 1, melainkan serbuk dari kapur tulis yang melambangkan bilangan 1.

2.3 Bilangan dan Himpunan Bilangan

Pada zaman sekarang ini, sistem penulisan bilangan yang dikenal adalah penulisan yang dikembangkan oleh bangsa Arab (Angka Arab) dengan angka pokoknya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sedangkan angka yang lebih dari 9, ditulis dengan mengkombinasikan angka-angka pokok tadi. Untuk keperluan menghitung, maka orang-orang mulai memerlukan “bilangan penghitung” (counting number) yaitu bilangan yang dimulai dari 1, 2, 3, 4, 5, ... dan seterusnya. Dimana bilangan penghitung tersebut sekarang ini dikenal dengan nama bilangan-bilangan asli, dan apabila bilangan-bilangan asli dihimpun menjadi sebuah himpunan, dan sebutlah himpunan itu dengan N, maka di dalam matematika, himpunan semua bilangan asli N tersebut dikenal sebagai N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }.

Untuk keperluan lainnya kemudian orang memperluas bilangan asli menjadi bilangan bulat, sehingga munculah himpunan semua bilangan bulat. Di dalam bahasa asing disingkat “I” (integer), himpunan bilangan bulat I dinyatakan dengan I = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. dari bilangan bulat diperluas menjadi bilangan rasional. Bilangan rasional biasanya diberi nama dengan “Q” singkatan dari Quotient yang berarti rasio atau perbandigan. Himpunan bilangan rasional Q dinyatakan dengan Q = {}.

Karena , hubungan ketiga himpunan bilangan tersebut dapat digambarkan melalui diagram venn berikut:

Kemudian untuk keperluan tertentu orang-orang menciptakan bilangan Irasional, apabila himpunan semua bilangan irasional diberi nama H, maka himpunan semua bilangan irasional H dan himpunan semua bilangan rasional Q merupakan dua buah himpunan yang saling lepas, sehingga H  Q =  (himpunan kosong) sedangkan gabungan dari himpunan rasional dan irasional disebut himpunan semua bilangan real R atau H  Q = R.

Hubungan antara kelima himpunan N, I, Q, H, dan R dapat diperlihatkan oleh diagram Venn berikut:

Bilangan yang bukan merupakan bilangan real disebut “bilangan imajiner” dan biasanya diberi nama dengan huruf i atau i =  . Dengan dikenalnya bilangan imajiner maka kita akan mengenal bilangan kompleks dan diberi nama C, yang dinyatakan sebagai

Hubungan antara ketujuh himpuan N, I, Q, H, R, M, dan C ditunjukan oleh diagram venn, tampak bahwa N  I  Q  R  C, H  R  C, M  C, Q  H =  dan M  R = .

2.4 Macam-Macam Bilangan

2.4.1 Bilangan Asli ( N )

Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang bukan nol, yaitu unsur himpunan N={1, 2, 3, 4, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukan beberapa jenis kera besar (inggris:apes) juga bisa mempelajarinya. Bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, membagi dsb. Bilangan asli dapat digunakan untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat terhitung suatu himpunan.

2.4.2 Bilangan Cacah (C)

Bilangan cacah adalah bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu C= {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah 0.

2.4.3 Bilangan Bulat ( I )

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...); -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Pada bilangan bulat bisa dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang masing-masing operasi mempunyai sifat-sifat tertentu. Sistem bilangan bulat tercipta sebagai perluasan sistem bilangan cacah untuk mendapatkan sistem bilangan yang tertutup terhadap semua operasi hitung. Perluasan tersebut dilakukan dengan mencari bilangan yang tertutup terhadap operasi pengurangan.

-          Semua bilangan di sebelah kiri nol adalah bilangan negatif

-          Semua bilangan di sebelah kiri nol adalah bilangan positif

2.4.4 Bilangan Rasional ( H )

Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai  dimana a dan b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Bilangan rasional merupakan bilangan yang mempunyai jumlah kurang atau lebih dari utuh, terdiri dari pembilang dan penyebut. Pembilang merupakan bilangan yang terbagi, sedangkan penyebut merupakan bilangan pembagi.

                        Contoh :

                  4 à  pembilang

5 à  penyebut

 

2 à  pembilang

3 à  penyebut

2.4.5 Bilangan Irasional ( Q )

Bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi atau hasil baginya tidak pernah berhenti. Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan dengan a/b. dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0 (nol). Contoh yang paling popular dari bilangan irasional adalah bilangan , dan bilangan e.

Bilangan  sebetulnya tidak tepat = 3,14 tetapi = 3,1415926535... atau = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 ... Untuk bilangan  yaitu bernilai = 1,41421356237309504880168872 ... atau = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798 ... (hingga 700 digit belum selesai, yang ditemukan oleh pakar matematika Jepang dengan batuan komputer ), untuk bilangan e yaitu bernilai = 2,7182818 ...

2.4.6 Bilangan Riil ( R )

Bilangan riil atau real number menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339 ... atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan , dan bilangan irasional seperti  dan bilangan akar, juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan riil meliputi kelas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Arhimides.

2.4.7 Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat . Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Selain bagian imajiner, bilangan komplek mempunyai bagian riil. Secara definisi, bagian bilangan imajiner ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik  atau

2.4.8 Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk . Dimana a dan b adalah bilangan riil dan I adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat . Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali dan dibagi seperti bilangan riil, namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.

Selain bilangan-bilangan di atas, juga terdapat beberapa bilangan lainnya, yaitu :

2.4.9 Bilangan Nol

Konsep bilangan nol telah berkembang sejak zaman Babilonia danYunani kuno, yang pada saat itu diartikan sebagai ketiadaan dari sesuatu. Konsep bilangan nol dan sifat-sifatnya terus berkembang dari waktu ke waktu.

Sejarah diketemukannya bilangan nol adalah sekitar 300 SM, orang Babilonia telah memulai penggunaan dua baji miring (//) untuk menunjukkan sebuah tempat kosong pada abax (alat hitung pertama bangsa Babilonia, lebih dikenal dengan abacus).

Hingga pada abad ke-7, Brahmagupta seorang matematikawan India memperkenalkan beberapa sifat bilangan nol. Sifat-sifatnya adalah suatu bilangan bila dijumlahkan dengan nol adalah tetap, demikian pula sebuah bilangan bila dikalikan dengan nol akan menjadi nol. Tetapi, Brahmagupta menemui kesulitan dan cenderung ke arah yang salah, ketika berhadapan dengan pembagian oleh bilangan nol. Hal ini terus menjadi topik penelitian pada saat itu, bahkan sampai 200 tahun kemudian. Misalnya tahun 830, Mahavira (India) mempertegas hasil-hasil Brahmagupta, dan bahkan menyatakan bahwa “sebuah bilangan dibagi oleh nol adalah tetap”. Tentu saja ini suatu kesalahan fatal. Tetapi, hal ini tetap harus sangat dihargai untuk ukuran saat itu.

Ide-ide brilian dari matematikawan India selanjutnya dipelajari oleh matematikawan Muslim dan Arab. Hal ini terjadi pada tahap-tahap awal ketika matematikawan Al-Khawarizmi meneliti sistem perhitungan Hindu (India) yang menggambarkan sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Al-Khawarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh. Sistem ini disebut sebagai sistem bilangan desimal.

2.4.10 Bilangan Sempurna

Bilangan sempurna adalah bilangan bulat yang juga merupakan jumlah dari pembagi positifnya, tidak termasuk bilangan itu sendiri. Oleh karena itu, 6 adalah bilangan sempurna, karena 1, 2, dan 3 adalah pembagi dari 6, dan 1 + 2 + 3 = 6. Bilangan sempurna berikutnya adalah 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Diikuti dengan 496, dan 8128. Hanya empat bilangan sempurna yang pertama inilah yang diketahui oleh ahli zaman Yunani Kuno.

Saat ini, telah ditemukan rumus dari bilangan sempurna, sehingga kita dapat mencari bilangan sempurna lainnya selain 6, 28, 496, dan 8128. Rumus tersebut adalah :

Bilangan sempurna =

2.4.11 Bilangan Bersekawan

Dua buah bilangan a dan b dikatakan bersekawan apabila jumlah faktor prima dari bilangan a sama dengan bilangan b dan jumlah faktor prima dari bilangan b sama dengan bilangan a. Contohnya adalah bilangan 220 dengan 284; faktor prima dari 220 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 dan 110, dimana jumlahnya sama dengan 284, dan faktor prima dari 284 adalah 1, 2, 4, 71 dan 142, dimana jumlahnya sama dengan 220. Beberapa pasangan bilangan bersekawan lainnya adalah (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), dan (6232, 6368).

Bilangan Kompleks

Bilangan-bilangan tersebut dapat digambarkan dalam sebuah bagan bilangan berikut :

 

DAFTAR PUSTAKA

Aditya., (2010), Sejarah Sistem Bilangan. [Online]. Tersedia: http://www. adit38.wordpress.com/2010/05/19/asal-usul-sistem-bilangan [13 Oktober 2010]

Gauss, Carl Friedrich., (2010), [Online]. Tersedia: http://id.wikipedia.org/wiki/ Gauss [13 Oktober 2010]

Legendre, Adrien-Marie., (2010), [Online]. Tersedia: http://id.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre [13 Oktober 2010] Peirce, Benyamin., (2010), [Online]. Tersedia: http://id.wikipedia.org/wiki/Benjamin_Peirce [13 Oktober 2010]

Pengertian Sistem Bilangan., (2010), [Online]. Tersedia: http://www.scribd.com/doc/ 25769841/pengertian-sistem-bilangan [13 Oktober 2010]

Sejarah Matematika., (2010), [Online]. Tersedia: http://id.wikipedia.org/wiki/ Sejarah_matematika [13 oktober 2010]